Antes de introducirnos en nuestro tema en cuestión realizaremos una retroalimentación.
Recordaremos los valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables en especial las que nos serán de utilidad, tanto del seno como del coseno, para la posterior aplicación en ejercicios.
He aquí un método práctico para aprender y recordarlos de manera sencilla, veamos el siguiente vídeo:
Una vez comprendido lo tratado anteriormente podemos introducirnos al tema en cuestión, titulado:
"Seno de la suma de dos ángulos"De manera a comprender el algoritmo del seno de la suma de dos ángulos, debemos primeramente conocer de dónde se extrae la fórmula para hallar la misma,es decir necesitamos de una demostración analítica.
Para ello,veamos el siguiente vídeo:
De lo anteriormente expuesto podemos concluir que:
El seno de la suma de dos ángulos está dada por la siguiente expresión matemática:
sen (a+b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Resolución de ejercicios
Para hallar el seno de la suma de dos ángulos no basta contar sólo con la fórmula, además debemos tener en cuenta dos casos bien específicos.
Primer casoExpresar un ángulo como la suma de otros dos
- Tengamos en cuenta primeramente, que todo ángulo se puede expresar como la suma de otros dos ángulos y que evidentemente sean menores a éste.
- En cuanto a los ángulos que componen la suma, al menos uno de ellos tiene que ser notable y preferiblemente del primer cuadrante, para la mejor resolución del ejercicio.
- Los ángulos notables y que se encuentran en el primer cuadrante son:0º, 30º, 45º, 60º y 90º
Primer ejemplo
Calcule sen 75º como el seno de la suma de dos ángulos
Solución:
Primeramente, 75º lo expresaremos como la suma de dos ángulos, teniendo en cuenta las reglas anteriores:
75º=45º+30º
75º=45º+30º
En este caso 75º se expresó como la suma de dos ángulos notables: 45º y 30º
Luego, podemos expresar sen 75º como la suma de dos ángulos. Así:
sen 75º = sen (45º + 30º)
sen 75º = sen (45º + 30º)
Aplicando la fórmula se obtiene:
sen (45º+30º) = sen 45º . cos 30º + sen 30º . cos 45º
Procedemos a sustituir por sus valores, de esta manera:
sen (45º + 30º)= √6 /4 + √2/4
Segundo ejemplo:
Calcule sen 85º como el seno de la suma de dos ángulos. - Primeramente, 85º lo expresaremos como la suma de dos ángulos. Así:85º= 60º + 25º
(Observamos que sólo uno de los sumandos es un ángulo notable, en este caso 60º)
- Aplicamos la fórmula del seno de la suma de dos ángulos:
sen ( a + b ) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (60º + 25º) = sen 60º . cos 25º + sen 25º . cos 60º
sen (60º + 25º) =√3 / 2 . cos 25º + 1/2.sen 25º
Hemos obtenido el resultado final.
Atención
Sustituimos sólo los valores del seno y del coseno de 60º, por ser el único ángulo notable, en cuanto al seno y coseno de 25º, no se sustituyen por no tener valores exactos.
Segundo caso
Dados los valores del seno de un ángulo y el coseno de otro ángulo
Ejemplo
Dados los valores del seno de un ángulo y el coseno de otro ángulo
- Debemos aplicar la fórmula fundamental trigonométrica para hallar los valores desconocidos tanto del seno de uno de los ángulos y el coseno del otro ángulo.
La fórmula fundamental trigonométrica es:
sen2 a + cos2 a = 1
- Debemos sustituir los valores obtenidos, en la fórmula que expresa el seno de la suma de dos ángulos.
Atención
En este caso no hay necesidad de conocer el valor de los dos ángulos, pues sólo son necesarios los valores del seno y del coseno de los mismos,que serán obtenidos por el procedimiento anteriormente mencionado.
Ejemplo
Sabiendo que sen a =√2 / 2 y cos b = √3 / 2. Calcular sen(a+b)
Resolución
Como bien sabemos:
sen (a+b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Nosotros solo contamos con sen a y cos b, por lo tanto nos falta hallar primeramente cos a y sen b
De la fórmula fundamentamental trigonométrica despejamos las incógnitas a ser calculadas:
sen2a + cos2a = 1
cos2a=1-sen2a
Por lo tanto mediante la trasposición de términos el cuadrado del coseno pasa al otro miembro como operación inversa. Así:
cos a=√1-sen2a
(Observación: en la anterior fórmula, para hallar cos a , la raíz cuadrada afecta a toda la expresión, lo mismo ocurre a la hora de aplicarla en los ejercicios )
Sustituimos el valor de sen a en la expresión matemática obtenida:
cos a = √ 1 - (√2 / 2)2
cos a = √2 / 2
Procedemos a hallar sen b pero primeramente recordemos que:
La Fórmula Fundamental Trigonométrica que acabamos de utilizar para el ángulo "a" también es aplicable para todo ángulo así que también es aplicable al ángulo "b" por lo tanto:
sen2 b + cos2 b =1
sen2 b = 1-cos2 b
La fórmula para obtenener la función seno es como se muestra allí abajo:
Sustituimos el valor de cos b en la expresión matemática obtenida:
sen b = √1-(√3 / 2)2
sen b = 1/2
Sustituimos los valores obtenidos, junto con los datos en la fórmula de la suma de dos ángulos
sen (a+b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a+b) =√2 / 2 . √3 / 2 + 1/2 .√2 / 2
sen (a+b) =√6/ 4 + √2 / 4
Bibliografía:
- Bonjorno,José Roberto. Giovanni, José Ruy.MATEMATICA FUNDAMENTAL. Volumen Unico. Editora FTD S.A., Sao Paulo, Brasil. 1998
- Baldor,Aurelio.GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO Y TRIGONOMETRIA.Vigésima reimpresión.Editora Codice, Ediciones y Distribuciones S.A. México 2.004
- Lic. L. Galdos. GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA. 3ra. Edición. Editorial Cultural S.A. Madrid, España. Enero 1990.
- Fundación en Alianza, Exponente 1, Matemática para primer curso Educación Media, Asunción, Paraguay, octubre 2009
Imagen extraída de : www-istp.gsfc.nasa.gov
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